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“读者，层次，和内容──对这些东西的描述是前言应该涉及到的。” ──P. R. Halmos “人们的确需要一点简要的权威，通过用术语来装备自己：他们可以装模作样的说话，夸耀表面上的专业性。 但是我们应该询问受过训练的数学家们的不是他们能够高谈阔论的，甚至也不是他们对现有数学知识全集的了解， 而是他们现在能够对他们的知识的处理和他们是否能够解决实际中出现的数学问题。总之，我们期待行动而不是言语。” ──J. Hammersley “数学的核心包含具体的例子和具体的问题。” ──P. R. Halmos “在教授具体之前教授抽象是完全有罪的。” ──Z. A. Melzak 具体数学是通往抽象数学的桥梁。 “高级读者跳过那些看起来太初级的部分，可能会比次高级的读者跳过那些看起来太复杂的部分失去的更多。” ──G.Polya （我们还没大胆到去尝试Distinuous Mathematics。） |
这本书是基于斯坦福大学的一门同名课程，自1970年以来每年都被教授。每年大约有 50名学生学习它──低年级和高年级的学生，而不是多半本科生──而且这些课程的毕业生已经开始在其它地方教授相似的 课程。因此，向更多的读者（包括大二学生）发表这些材料时机似乎成熟了。 具体数学出生在一个黑暗，风雨交加的年代。在那混乱的几年中， 长期以来坚持的价值观一再被质疑；大学校园成了争论的温床。大学课程本身也接受着考验，数学并没有逃脱被审查。 John Hammersley刚写完一篇发人深省的文章《关于学校中“现代数学”和相似的软智力垃圾带来的数学技巧的衰弱》 ，其他忧虑的数学家甚至质疑，“数学能够存活吗？”其中的一位现任作者着手于名为《计算机编程艺术》的多卷书， 在写第一卷的时候，他（DEK）就已经发现数学工具从他的作品中遗失了；他需要用来对计算机程序有一个彻底的， 有良好基础的理解的数学，和他在上大学时作为数学主修生学到的非常不同。所以，他引入了一门新课程， 来教授他期望的，别人教过他的东西。 这门课程的题目“具体数学”最初是作为“抽象数学”的解毒剂，因为具体的经典的结果 很快就被一阵抽象思维的新潮流，通俗地称为“新数学”，扫出了现代数学课程。抽象数学是一门很好的学科，而且它没有 什么过错：它美丽，普遍，而且有用。但是它的追随者已经被迷惑：其它数学是较差的，不再需要关注。泛化的目标那么 时髦以至于一代数学家都不能享受特殊中的美丽，欣赏解决量化问题的挑战，或感激技术的价值。抽象数学正变得 “同系繁殖”，而且和现实失去了联系；数学教育需要一个具体的平衡物来恢复良好的平衡。 当DEK在斯坦福第一次教授具体数学时，他解释了这个有点奇怪的题目，说他 试图要教授一门坚固的而不是柔软的数学课程。他宣布，和他同事的意料相反，他并不是打算教集合论，也不是Stone定理， 更不是Stone-Cech compactification。（一些国内的工科学生站起来，安静地离开了房间。） 虽然具体数学是作为抵制其它潮流的反应，但它存在的原因是正面的而不是反面的。 而且随着这门课保持在课程中的流行地位，它的主题被巩固，被证明在新应用中很有价值。同时，当Z. A. Melzak发布 了两卷叫做《具体数学指南》的著作时，对名字的正确性的独立确认从另一个方向走来了。 具体数学的材料最初看起来像一袋子不相干的技巧，但是实践把它变成了一套正规的 工具。的确，这些技术有着潜在的统一和对多数人的强烈吸引。当另一名作者（RLG）在1979年第一次教授这门课程时， 学生们很有乐趣以至于他们决定一年后举行一次班级聚会。 那准确地说，具体数学是什么呢？它是连续（CONtinuous）数学和离散（disCRETE）数学的混合体 （译者注：具体数学的英文是CONCRETE Mathematics）。更具体地说，它是使用一套解决问题的技术，对数学公式的受控操作。一旦你，读者， 学会这本书中的材料，你只要有一个清醒的头脑，一大张纸和较为得体的书写，就可以去估算看起来不得了的求和， 去解决复杂的递归关系，去发现数据中微妙的模式。你将会非常娴熟于代数技巧，以至于你会发现得到精确的结果比满足于 那些在有限的情况下成立的近似答案要更为容易。 这本书中涉及的主题包括求和，递归，初等数论， 二项式系数，生成函数，离散概率，和渐近法。重点是在处理技巧， 而不是存在性定理或者组合推理；目的是让每一位读者都熟悉离散运算（比如最大整数函数和有限求和），就像学微积分学生 熟悉连续运算（比如绝对值函数和无限积分）那样。 注意，这个主题列表与当今本科教授的题为“离散数学”的教程非常不同。因此这门学科需要一个富有特色的名字，而“具体数学” 被证明是最合适的。 斯坦福大学关于具体数学这门课程的最初课本是《计算机编程艺术》中的《数学准备》一部分。但是，那110页的介绍太简洁了， 所以，另一名作者（OP）欢心鼓舞地去撰写一套较长的补充笔记。这本书就是那些笔记的派生；它是对《数学准备》材料的扩充 和更从容的介绍。其中一些更高级的部分被省略掉；另一方面，一些在那里找不到的话题被包含进来了，这样故事才能更完整。 作者喜欢把这本书的内容放在一起，因为在我们眼前主题开始变得明确而且展现出自己的生命力； 这本书更大程度上看起来像是自我完成。而且，在其中一些地方采用的有点儿非传统的方法看起来已经结合得那么好，以至于经过几年的 体会，我们不禁感到这本书是关于我们研究数学的最喜爱的方式的一种宣言。所以，我们认为，这本书结果是数学之美和数学之奇 的神话，并且我们希望读者能至少分享到我们在写作它时的快乐。 既然这本书出生在大学的背景中，我们通过采用一种非正式的风格来捕捉当代课堂中 的氛围。一些人认为数学是一件严肃的事情，肯定总是冷酷和枯燥；但我们认为数学是有趣的，我们不羞愧于去承认事实。 为什么工作和娱乐之间非得存在一条严格的界限呢？具体数学充满了具有吸引力的模式；计算不总是简单，但答案却可能会 惊人地有吸引力。数学工作的喜悦和悲伤直接映射到了这本书中，因为它们是我们生活的一部分。 （译者：翻译就到这里，因为这篇文章的优雅在这里已经体现得差不多了。希望你也能喜欢！想 了解更多请去书城买一本影印版的《Concrete Mathematics》，实在是不错！强烈推荐！） |